Ехиднаэдр
Ехиднаэдр | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() | |||||||
Группа симметрии | Икосаэдрическая (Ih) | ||||||
Тип | Звёздчатая форма икосаэдра | ||||||
Обозначения | Дю Валь: H Веннинджер: W42 | ||||||
Элементы (в форме звёздчатого многогранника) |
Г = 20, Р = 90 В = 60 (χ = −10) | ||||||
Элементы (в форме созвездия икосаэдра) |
Г = 180, Р = 270 В = 92 (χ = 2) | ||||||
Свойства (как звёздчатого многогранника) |
Вершино-транзитивный, гране-транзитивный | ||||||
|
Ехидна́эдр (англ. echidnahedron) — последняя звёздчатая форма икосаэдра[1][2], также называют полной или завершающей формой икосаэдра, так как она включает в себя все ячейки звёздчатой диаграммы[англ.] икосаэдра.
Впервые ехиднаэдр был описан Максом Брюкнером в 1900 году. Название ехиднаэдру дал Эндрю Хьюм, опираясь на то, что его телесные углы при вершинах малы и это делает его похожим на колючего ежа или ехидну[3].
Представление
[править | править код]На основании анализа научной литературы Бранко Грюнбаум в статье «Может ли каждая плоскость многогранника иметь много сторон?» («Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?») отмечает, что существует по крайней мере три различных метода рассмотрения многогранников. В случае ехиднаэдра это:
- объединение 180 треугольных граней;
- пересечение 20 самопересекающихся граней — эннеаграмм;
- пересечение 18-угольных звёздчатых многоугольников[4].
В форме созвездия икосаэдра
[править | править код]Как простая, видимая поверхность многогранника, внешняя форма ехиднаэдра состоит из 180 треугольных граней, которые образуют 270 рёбер, которые, в свою очередь, встречаются в 92 вершинах[5].
Все вершины ехиднаэдра лежат на поверхности трёх концентрических сфер. Внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 вершин образует вершины правильного икосаэдра; и наружный слой из 60 вершин образует вершины усечённого икосаэдра[6].
Внутренняя | Средняя | Внешняя | Все три |
---|---|---|---|
20 вершин | 12 вершин | 60 вершин | 92 вершины |
![]() Додекаэдр |
![]() Икосаэдр |
![]() Усечённый икосаэдр |
![]() Ехиднаэдр |
В форме звёздчатого многогранника
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Echidnahedron_with_enneagram_face.png/220px-Echidnahedron_with_enneagram_face.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Echidnahedron_stellation_diagram.png/220px-Echidnahedron_stellation_diagram.png)
Завершающая звёздчатая форма икосаэдра также может быть рассмотрена как самопересекающийся звёздчатый многогранник, имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням икосаэдра. Каждая грань является неправильным звёздчатым многоугольником (или эннеаграммой)[7]. Каждые три грани образуют одну вершину, поэтому ехиднаэдр имеет 20 × 9 ÷ 3 = 60 вершин (этот внешний слой вершин и образует кончики «колючки») и 20 × 9 ÷ 2 = 90 рёбер (каждое ребро звёздчатого многогранника включает 2 из 180 видимых рёбер многогранника).
Как завершающая форма икосаэдра
[править | править код]Эта звёздчатая форма многогранника образуется путём присоединения к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продлении граней икосаэдра бесконечными плоскостями[8]. Таким образом, создается новый многогранник, ограниченный этими плоскостями как гранями, а пересечениями этих плоскостей являются рёбра. В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» перечислены созвездия икосаэдра (включая ехиднаэдр) в соответствии с набором правил, выдвинутым Джеффри Миллером[1].
Свойства
[править | править код]Наименования и классификация
[править | править код]- Символ Дю Валя[9] ехиднаэдра — это H, поскольку он включает все ячейки в схеме созвездия, в том числе наиболее удалённый уровень - уровень «h»[10].
- В книге Магнуса Веннинджера Модели многогранников ехиднаэдр имеет индекс W42[2].
- Если бы грани ехиднаэдра являлись правильными эннаграммами, его можно было бы рассматривать как правильный многогранник с символом Шлефли {9/4,3}. Это означает, что в каждой вершине сходятся 3 грани, где каждая грань представляет собой неправильный 9/4 звёздчатый многоугольник[7].
Характеристики
[править | править код]- Эйлерова характеристика ехиднаэдра равна 2[5]. Данная характеристика считается по формуле где Г, Р и В — числа граней, рёбер и вершин соответственно.
- Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является благородным многогранником[англ.], так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным).
Формулы
[править | править код]- Если рассматривать ехиднаэдр как геометрическое тело с длинами рёбер a, Φa, Φ2a и Φ2a√2 (где Φ — золотое сечение), то площадь поверхности ехиднаэдра составляет[6]
- а объём[6]
- Радиусы сфер, на которых расположены вершины ехиднаэдра, находятся в соотношении[6]
- Тензор инерции ехиднаэдра постоянной плотности может быть представлен как диагональная матрица 3×3, элементы главной диагонали которой равны (где M — общая масса)[6].
Исторический очерк
[править | править код]Ехиднаэдр принадлежит к звёздчатым многогранникам, которые впервые в научной литературе были описаны в 1619 году в трактате Harmonices Mundi Иоганом Кеплером. Кеплер дал математическое обоснование свойств двух типов правильных звёздчатых многогранников: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр[11]. Гораздо позже — в 1809 году — Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера, а также открыл ещё два звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр, которые теперь называют телами Кеплера — Пуансо[12]. А в 1812 году Огюстен Коши доказал, что существует только 4 вида правильных звёздчатых многогранников[7][11].
Впервые ехиднаэдр был описан в 1900 году Максом Брюкнером в классической работе о многогранниках, озаглавленной «Многоугольники и многогранники», где помимо него были описаны ещё 9 звёздчатых форм икосаэдра[13]. С тех пор ехиднаэдр стал появляться в работах других математиков, причём он не имел единого обозначения. В 1924 году Альберт Виллер опубликовал список 20 звёздчатых форм (22, включая копии), и в том числе ехиднаэдр[14]. Наиболее систематическое и полное исследование звёздчатых многогранников провели Гарольд Коксетер совместно с Патриком дю Валем, Флейзером и Джоном Петри в 1938 году в книге Пятьдесят девять икосаэдров, где они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Коксетер доказал, что существует всего 59 звёздчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Ехиднаэдр занимает восьмое место в книге[1]. В труде Магнуса Веннинджера, изданной в 1974 году Модели многогранников, ехиднаэдр включён как 17-я модель икосаэдра с индексом W42[2].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wild_shortbeak_echidna.jpg/220px-Wild_shortbeak_echidna.jpg)
Современное название последней звёздчатой формы икосаэдра дал Эндрю Хьюм в 1995 году в своей базе данных Netlib[англ.] как echidnahedron[15] (ехидна, или колючий муравьед, небольшое млекопитающее, покрытое жёсткими волосами и шипами, сворачивается в клубок, чтобы защититься).
База данных Netlib охватывает все регулярные многогранники[англ.], архимедовы тела, ряд призм и антипризм, все многогранники Джонсона
(выпуклые многогранники, у которых каждая грань — правильный многоугольник) и некоторые странные многогранники, включая ехиднаэдр (моё название, на самом деле это завершающая форма икосаэдра).
Оригинальный текст (англ.)"It (Netlib) covers all the regular polyhedra, archimedean solids, a number of prisms and antiprisms, and all the Johnson polyhedra (all convex polyhedra with regular polygonal faces) and some odd solids including the echidnahedron (my name; its actually the final stellation of the icosahedron)".— [3]
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Коксетер и другие, 1999.
- ↑ 1 2 3 Веннинджер, 1971.
- ↑ 1 2 База данных многогранников.
- ↑ Branko Grünbaum, 2008, p. 15.
- ↑ 1 2 Polyhedra.org.
- ↑ 1 2 3 4 5 Ехиднаэдр на MathWorld.
- ↑ 1 2 3 Питер Кромвель, 1997.
- ↑ Веннинджер, модель №42.
- ↑ Дю Валь изобрёл символическое обозначение для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основанное на наблюдении, что они расположены в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра.
- ↑ Питер Кромвель, 1997, с. 259.
- ↑ 1 2 MathWorld.
- ↑ Луи Пуансо, 1810.
- ↑ Макс Брюкнер, 1900.
- ↑ Альберт Виллер, 1924.
- ↑ Эндрю Хьюм, модель 141.
Литература
[править | править код]- Harold Scott MacDonald Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie. Пятьдесят Девять Икосаэдров = The Fifty-Nine Icosahedra. — 3-е изд. — Tarquin, 1999. — P. 30–31. — 72 p. — ISBN 978-1-899618-32-3.
- Magnus J. Wenninger. Модели многогранников = Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1971. — P. 65. — ISBN 0-521-09859-9.
- Louis Poinsot. Записки о многоугольниках и многогранниках = Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique, 1810. — P. 16–48.
- Peter R. Cromwell. Многогранники = Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 268. — ISBN 0-521-66405-5.
- Max Brückner. Многоугольники и многогранники: теория и история = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. — Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1900. — ISBN 978-1-4181-6590-1.
- A. H. Wheeler. Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников (англ.) = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra // Proc. Internat. Math. Congress. — Toronto, 1924. — Vol. 1. — P. 701–708.
- Gerald Jenkins, Magdalen Bear. Последняя звёздчатая форма икосаэдра: расширенная математическая модель — вырезать и склеить = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. — Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. — ISBN 978-0-906212-48-6.
- Branko Grünbaum. Может ли каждая грань многогранника иметь много сторон? (англ.) = Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?. — 2008. — P. 15.
Ссылки
[править | править код]- Andrew Hume. Geometry.research › Polyhedra database (англ.). Google.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
- Andew Hume. Polyhedron database Netlib, model 141 (англ.). Дата обращения: 7 ноября 2014.
- Eric Weisstein. Kepler-Poinsot Solid (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
- Eric Weisstein. Echidnahedron (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
- Eric Weisstein. Icosahedron Stellations (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 7 ноября 2014.
- Ralph Jones. Instructions for constructing a model of the echidnahedron (англ.) (Microsoft Word(.doc)). Дата обращения: 26 октября 2014. Архивировано 4 октября 2011 года.
- Guy Inchbald. Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron (англ.). Дата обращения: 7 ноября 2014.
- Echidnahedron (англ.). Honeylocust Media Systems (2006). Дата обращения: 26 октября 2014. Архивировано 7 октября 2008 года.
- Завершающая звёздчатая форма икосаэдра . Wenninger.narod.ru. Дата обращения: 3 ноября 2014.
Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии. |